Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odpowiednie odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta.

Prezentacja twierdzenia Prezentacja twierdzenia
Dla powyższych rysunków zachodzi: \frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|DB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}
lub po przekształceniu: \frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DB|} oraz \frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|} a także \frac{|AC|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|DB|}.
Często spotykaną nieścisłością jest takie formułowanie twierdzenia Talesa: \frac{|AD|}{|DE|}=\frac{|AB|}{|BC|}, ta równość jest prawdziwa, ale wynika z podobieństwa trójkątów ADE i ABC a nie z samego twierdzenia Talesa.

Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa.
Dowód oparty jest na dwóch lematach:
  1. Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw.
  2. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.
Dowód
Niech  [ABC]  oznacza pole powierzchni trójkąta ABC.
Trójkąty CED i EAD mają wspólną wysokość h', więc na mocy lematu 1.:
\frac{|CE|}{|EA|} = \frac{[CED]}{[EAD]}.
Dodatkowo trójkąty CED i BDE mają wspólną podstawę ED i równe wysokości h, dlatego na mocy lematu 2:
[CED] = [BDE]\;, stąd \frac{[CED]}{[EAD]} = \frac{[BDE]}{[EAD]}.
Trójkąty BDE i EAD mają wspólną wysokość, więc zgodnie z lematem 1:
\frac{[BDE]}{[EAD]} = \frac{|BD|}{|DA|}.
Przyrównując do siebie te równości otrzymuje się
\frac{|CE|}{|EA|} = \frac{[CED]}{[EAD]} = \frac{[BDE]}{[EAD]} = \frac{|BD|}{|DA|},
czego należało dowieść.

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Posty (Atom)